Caída libre y tiro vertical (MRUA)

Introducción

La caída libre y el tiro verticalmente, son básicamente el mismo tipo de movimiento, un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, lo que cambia entre uno y otro es que tengan o no una velocidad inicial. Recordemos que un MRUA es un movimiento de trayectoria recta y aceleración constante.

A veces, simplemente, se dice que un cuerpo tiene un movimiento de caída libre cuando se encuentra únicamente bajo la acción de la fuerza peso, más allá de si hubo o no velocidad inicial, o si el objeto sube o baja.

Entonces, si la caída libre es simplemente un MRUA, ¿por qué complicar las cosas con un montón de ecuaciones? ¿valdrá la pena memorizarlas todas? ¿valdrá la pena tener que acordarse en qué caso se puede aplicar cada una? Parece más conveniente manejar la menor cantidad posible de ecuaciones y saber trabajar con ellas.

Básicamente, se puede resolver cualquier problema de caída libre con dos ecuaciones:

(1) \hspace{0.5cm} xf = x_{i} + v_{i}.t + \frac{a.t^2}{2} (2) \hspace{0.5cm} a = \frac{\Delta v}{\Delta t}

A partir de estas dos ecuaciones – la primera llamada ley horaria del MRUA y la segunda es la definición de aceleración – podemos deducir una tercera, donde no aparece el tiempo. Esta ecuación, en algunos casos, permite una resolución más inmediata.

(3) \hspace{0.5cm} v^2_{f} - v^2_{i} = 2.a.\Delta x

Como puedes ver, son las ecuaciones del movimiento rectilíneo con aceleración constante (MRUA) , y no estoy agregando ninguna ecuación para obtener altura máxima, ni cambiando las ecuaciones según el sentido del movimiento.

En el caso de la caída libre, la aceleración depende del planeta donde esté sucediendo el movimiento. Si es en la Tierra, la aceleración gravitatoria tiene un valor aproximado de 9,8m/s2

Ejercicio 1 : tiro vertical desde el piso

Arranquemos por uno fácil. Se dispara un objeto desde el piso con una velocidad inicial de 15m/s. Graficar posición, velocidad y aceleración en función del tiempo para todo el movimiento, desde que parte del piso hasta que vuelve a la posición de partida.

Nuestro eje de referencia «x», lo elijo con el 0 metro ubicado en el piso y las x creciendo hacia arriba. Con esta elección, la posición del objeto («la x») , coincide con la altura del objeto en todo momento. Es más, no habrá x negativas, a no ser que el objeto rompa y traspase el piso!

Antes de hacer cálculos con las dos primeras ecuaciones que introduje en el artículo, pensemos algunas cosas.

El signo representa el sentido del vector, ya sea desplazamiento, velocidad, etc. Con el sistema de referencia planteado con las x creciendo hacia arriba, vamos a tener una aceleración negativa en todo el movimiento, ya que la aceleración gravitatoria siempre apunta al centro de la Tierra. Por otro lado, tendremos velocidades positivas en la subida y negativas en la bajada.

¿Forma de los gráficos?

a(t) , será una función constante.v(t) , será una función lineal, ya que la velocidad cambia de manera uniforme.x(t), será una parábola.

Cálculos

¡Ahora sí! Hacemos el planteo con las ecuaciones. Como es una movimiento de caída libre, sabemos que la aceleración vale 10m/s2 (aprox.), y será negativa siempre.

Para construir el gráfico de velocidad en función del tiempo tenemos como dato la velocidad inicial y por el momento nada más. Podríamos calcular por ejemplo cuanto tiempo demora en volver al piso, o calcular el tiempo que demora en subir a la altura máxima y duplicarlo. Voy a optar por calcular el tiempo total.

Como no tengo la velocidad final (aunque se puede deducir fácilmente en este caso) , voy a usar la ley horaria.

x_{f} = x_{i} + v_{i}.t + \frac{a.t^2}{2}

La posición inicial vale 0 porque parte del piso, y la posición final también, ya que vuelve al piso.

0 = 0 + 15m/s.t - \frac{10m/s^2.t^2}{2}0 = 15m/s.t - 5m/s^2.t^2

Aquí es cuando preciso que te guste la matemática, ¿fácil de resolver? El tiempo solución de esa ecuación es 3 segundos. Puedes verificarlo.

Nos falta averiguar la velocidad final. Alerta de sentido común: todo objeto que tires con cierta velocidad te volverá a la mano con la misma velocidad. ¡A cuidarse las manos!

Entonces, la velocidad final es 15m/s, pero negativa, porque el objeto está volviendo y moviendose en el sentido contrario al del eje x. Pero como este es un ejercicio de «entrenamiento», probemos de llegar a ese valor a partir de la ecuación (2).

a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \Delta v = a.\Delta t v_{f} - v_{i} = a.\Delta t v_{f} = a.\Delta t + v_{i} v_{f} = -10m/s^2.3,0s + 15m/s v_{f} = -15m/s

Podemos hacer el gráfico de velocidad en función del tiempo.

Además, ya tenemos la información necesaria para graficar la aceleración.

Por último para graficar la posición, ya tenemos un par de datos. Para t=0s está en el piso (x=0m) , y en 3s el objeto volvió al piso. Como para bosquejar la parábola nos vendría bien calcular la altura máxima, que sucede en el instante t=1,5s.

xf = x_{i} + v_{i}.t + \frac{a.t^2}{2} x_{f} = 0 + 15m/s.1,5s - \frac{10m/s^2.1,5^2}{2} x_{f} = 11,25m

Y expresado con el número correcto de cifras significativas es:

x_{f} = 11m

Ahora, realizamos el gráfico.

Hemos terminado nuestro primer ejercicio de caída libre, qué felicidad!

Ejercicio 2

Este es para tí. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 10m/s y desde una altura de 5,0m. Tienes que calcular cuánto tiempo demora en llegar al piso y la altura máxima que alcanza la pelota.
Respuestas
Demora 2,4 segundos (1,0s en subir y 1,4s en bajar), y llega a una altura máxima de 10 metros.

A tener en cuenta al resolver los ejercicios de caída libre

  • Hacer un dibujo de la situación e indicar el eje de referencia.
  • Considerar que el signo de la aceleración no depende del sentido del movimiento, sino, del sentido del eje de referencia.
  • Anotar los datos que surgen de las condiciones iniciales: posición y velocidad.
  • Anotar otros datos que surgen de lo que se pregunta, por ejemplo si se pide calcular la altura máxima, podemos agregar que la velocidad final vale 0.
  • Chequear coherencia del signo y el valor del resultado obtenido, poner la unidad correspondiente en el resultado final y las unidades en el planteo si así lo pide tu profesor.
Las unidades usadas en este artículo son: m, m/s y m/s2